7. Sınıf Oran ve Orantı: Doğru Orantıyı Tablo, Grafik ve Orantı Sabitiyle Anlamak

Bu yazıda neler öğreneceğiz?

Bu yazının sonunda şunları yapabileceksiniz:

• İki çokluğun doğru orantılı olup olmadığına tablodaki oranlara bakarak karar vermek.
• Doğru orantılı iki çokluk arasındaki orantı sabitini bulmak ve ne anlama geldiğini açıklamak.
• Doğru orantılı iki çokluğu tablo, grafik ve $y=k\cdot x$ eşitliğiyle göstermek.
• Orantı sabitini kullanarak eksik değeri bulmak.

Programla ilişki: Ortaokul matematik dersi, 7. sınıf, Oran ve Orantı.

Ön bilgi: Oran kavramı, kesirlerle bölme, koordinat düzleminde nokta işaretleme.

---

Giriş: İki kat elma, iki kat para mı?

Manavda elmanın kilogramı 25 liradır. 2 kg elma alan biri 50 lira, 4 kg alan biri 100 lira öder. Peki taksiye bindiğinizde yolun iki katına çıkması ücretin de iki katına çıkması anlamına gelir mi? Taksimetre binişte bir açılış ücretiyle başladığı için cevap “hayır”dır.

Bu iki durum arasındaki fark, bu yazının konusu olan doğru orantıdır. Yukarıdaki uygulamada önce manav durumunda Oynat düğmesine basın ve tablonun son sütununu izleyin. Ardından taksi durumuna geçip aynı sütunun nasıl değiştiğine bakın.

---

1. Doğru orantı nedir?

İki çokluktan biri artarken öteki de aynı oranda artıyorsa, biri azalırken öteki de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır.

Doğru orantı: $x$ ve $y$ çoklukları için $\frac{y}{x}$ oranı her zaman aynı sayıya eşitse $x$ ile $y$ doğru orantılıdır. Bu sabit sayıya orantı sabiti denir ve genellikle $k$ harfiyle gösterilir: $\frac{y}{x}=k\text{ya da}y=k\cdot x$

Manav örneğinde $x$ elma miktarı (kg), $y$ ödenen tutar (lira) ise oran her satırda aynıdır:

Elma ($x$, kg)	Tutar ($y$, lira)	$y÷x$
1	25	25
2	50	25
4	100	25
6	150	25

Oranların hepsi 25 olduğu için iki çokluk doğru orantılıdır ve orantı sabiti $k=25$‘tir.

---

2. Orantı sabiti neyi anlatır?

Orantı sabiti, 1 birimin karşılığıdır. Manav örneğinde $k=25$, “1 kg elma 25 liradır.” demektir. Bir bisikletlinin aldığı yol ile geçen süre doğru orantılıysa ve $k=15$ ise bisikletli 1 saatte 15 km yol alıyor demektir.

Orantı sabitini bulduktan sonra eksik değer kolayca hesaplanır. 1 birimin karşılığını bilen biri, istediği sayıda birimin karşılığını çarpma işlemiyle bulur:

$y=k\cdot x$

Uygulamadaki Elmanın kilogramı kaydırıcısı orantı sabitini değiştirir. Sabit büyüdükçe grafikteki doğrunun dikleştiğini görebilirsiniz.

---

3. Doğru orantının grafiği

Doğru orantılı iki çokluğun tablosundaki $(x,y)$ ikililerini koordinat düzleminde işaretlerseniz noktaların hepsi başlangıç noktasından, yani $(0,0)$ noktasından geçen bir doğrunun üzerinde sıralanır. Bunun nedeni basittir: 0 kg elma için 0 lira ödenir.

Taksi örneğinde ise açılış ücreti 30 lira, kilometre başına ücret 25 lira olsun:

Yol ($x$, km)	Ücret ($y$, lira)	$y÷x$
1	55	55
2	80	40
4	130	32,5

Oranlar eşit değildir. Grafik yine bir doğrudur ama $(0,30)$ noktasından başlar. Bu yüzden grafiği doğru olan her ilişki doğru orantı değildir. Doğru orantı için iki koşul birlikte gerekir:

1. Grafik bir doğrudur.
2. Bu doğru $(0,0)$ noktasından geçer.

---

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Orantı sabitini bulmak

Soru: $x$ ile $y$ doğru orantılıdır. $x=6$ iken $y=42$‘dir. Orantı sabiti kaçtır?

Çözüm: Orantı sabiti $y$‘nin $x$‘e oranıdır:

$k=\frac{y}{x}=\frac{42}{6}=7$

Neden? Doğru orantıda bu oran her ikili için aynıdır; tek bir ikili bilmek sabiti bulmaya yeter.

Örnek 2: Eksik değeri bulmak

Soru: Bir musluk 4 dakikada 36 litre su akıtıyor. Musluk aynı hızla akarsa 9 dakikada kaç litre su akıtır?

Çözüm: Önce 1 dakikada akan su miktarını, yani orantı sabitini buluruz:

$k=\frac{36}{4}=9\text{ litre}$

Sonra 9 dakikadaki miktarı hesaplarız:

$y=9\cdot 9=81\text{ litre}$

Neden? Süre ile akan su doğru orantılıdır; süre kaç katına çıkarsa akan su da o kadar katına çıkar.

Örnek 3: Orantılı mı, değil mi?

Soru: Aşağıdaki tabloda $x$ ile $y$ doğru orantılı mıdır?

$x$	2	5	8
$y$	10	22	34

Çözüm: Oranları tek tek hesaplarız: $\frac{10}{2}=5$, $\frac{22}{5}=4,4$ ve $\frac{34}{8}=4,25$. Oranlar eşit olmadığı için $x$ ile $y$ doğru orantılı değildir.

Neden? $x$ her seferinde 3 artarken $y$ her seferinde 12 artıyor; artış düzenli olsa da oran sabit kalmıyor. Bu tablonun grafiği bir doğrudur ama $(0,0)$ noktasından geçmez.

---

Sık yapılan hatalar

1. “İkisi de artıyorsa orantılıdır.” demek: Taksi ücreti yol arttıkça artar ama doğru orantılı değildir. Yalnızca artmak yetmez; oranın sabit kalması gerekir.
2. Farklara bakmak: Tabloda $y$ değerlerinin hep aynı miktarda artması doğru orantı için yeterli değildir. Karar vermek için farklara değil, $y÷x$ oranlarına bakılır.
3. Oranı ters kurmak: Bazı öğrenciler bir satırda $\frac{y}{x}$, öteki satırda $\frac{x}{y}$ hesaplar. Bütün satırlarda aynı sıra korunmalıdır.
4. Birimi unutmak: “Orantı sabiti 25’tir.” cevabı eksiktir. Sabitin anlamı birimiyle ortaya çıkar: “1 kg elma 25 liradır.”

---

Kendini dene

Aşağıdaki soruları önce defterinizde çözün, sonra cevaplarla karşılaştırın:

1. $x$ ile $y$ doğru orantılıdır. $x=5$ iken $y=60$‘tır. Orantı sabiti kaçtır?
2. 3 defter 45 liradır. Aynı defterden 8 tane kaç lira tutar?
3. Bir araç sabit hızla 2 saatte 150 km yol alıyor. Aynı hızla 5 saatte kaç km yol alır?
4. Tablodaki çokluklar doğru orantılı mıdır? $x$: 3, 6, 9 ve $y$: 12, 24, 36.
5. Bir spor salonunda üyelik için 100 lira kayıt ücreti, her ders için 40 lira ödeniyor. Ders sayısı ile ödenen toplam ücret doğru orantılı mıdır? Neden?

Cevaplar: 1) $k=60÷5=12$. 2) Bir defter 15 lira olduğundan $15\cdot 8=120$ lira. 3) Saatte 75 km olduğundan $75\cdot 5=375$ km. 4) Evet; bütün oranlar 4’e eşittir. 5) Hayır; kayıt ücreti yüzünden 0 ders için bile 100 lira ödenir, grafik $(0,0)$ noktasından geçmez.

Daha fazla alıştırma için metnin altındaki Kendini dene alanını kullanabilirsiniz. Her Yeni soru düğmesine bastığınızda farklı sayılarla yeni bir soru gelir.

---

Özet

• İki çokluğun oranı her zaman aynıysa bu çokluklar doğru orantılıdır: $y=k\cdot x$.
• Orantı sabiti $k$, 1 birimin karşılığıdır ve birimiyle birlikte yorumlanır.
• Doğru orantının grafiği $(0,0)$ noktasından geçen bir doğrudur.
• Eksik değeri bulmak için önce orantı sabiti bulunur, sonra istenen miktarla çarpılır.