10. Sınıf Sayma, Faktöriyel ve Sıralama Rehberi

Bu yazıda neler öğreneceğiz?

Bu yazının sonunda şunları yapabileceksiniz:

Bir sayma probleminde toplama yoluyla saymanın mı, çarpma yoluyla saymanın mı kullanılacağına karar vermek.
Faktöriyel gösterimini okumak ve $n!$ değerlerini hesaplamak.
$n$ farklı nesneden $r$ tanesinin kaç farklı biçimde sıralanabileceğini bulmak.
Tekrara izin verilen ve verilmeyen durumları ayırt etmek.

Programla ilişki: Lise matematik dersi, 10. sınıf, Sayma ve Olasılık.

Ön bilgi: Kümeler ve küme elemanları, çarpma işlemi, üslü ifadeler.

Giriş: Kaç farklı sonuç listesi olabilir?

Bir okulda 5 öğrencinin katıldığı bir yarışmada birinciye, ikinciye ve üçüncüye farklı ödüller verilecek. Kaç farklı sonuç listesi açıklanabilir? Bütün listeleri tek tek yazmaya kalkarsanız hem çok zaman harcarsınız hem de bazılarını atlama olasılığınız artar.

Sayma kuralları bu tür soruları listeleri yazmadan çözmemizi sağlar. Yukarıdaki uygulamada Oynat düğmesine basın ve öğrencilerin ödül kutularına tek tek yerleşmesini izleyin. Her kutunun altındaki seçenek sayısının neden bir azaldığını düşünün.

1. Toplama yoluyla sayma

Bir işi yapmanın yolları birbirinden ayrık gruplara ayrılıyorsa ve bu gruplardan yalnızca biri seçilecekse, gruplardaki yol sayıları toplanır.

Toplama yoluyla sayma: Bir iş $A$ yoluyla $m$ farklı biçimde, $B$ yoluyla $n$ farklı biçimde yapılabiliyorsa ve iki yolun ortak bir seçeneği yoksa bu iş $m + n$ farklı biçimde yapılabilir.

Örneğin iki kent arasında günde 4 otobüs ve 3 tren seferi varsa yolcu ya otobüsle ya da trenle gider. Gidebileceği sefer sayısı $4 + 3 = 7$ ‘dir. Burada anahtar sözcük “ya … ya da …” bağlacıdır.

2. Çarpma yoluyla sayma

Bir iş art arda yapılan adımlardan oluşuyorsa ve her adımdaki seçenek sayısı öteki adımlarda ne seçildiğine bağlı değilse, adımlardaki seçenek sayıları çarpılır.

Çarpma yoluyla sayma: Birinci adım $m$ farklı biçimde, ikinci adım $n$ farklı biçimde yapılabiliyorsa iki adım birlikte $m \cdot n$ farklı biçimde yapılabilir. Kural, ikiden çok adım için de aynı biçimde sürer.

Bir öğrencinin 3 gömleği ve 4 pantolonu varsa bir gömlek ve bir pantolon seçerek $3 \cdot 4 = 12$ farklı biçimde giyinebilir. Burada anahtar sözcük “ve” bağlacıdır: bir gömlek seçilir ve bir pantolon seçilir.

3. Faktöriyel

Çarpma yoluyla sayarken $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ gibi azalan çarpımlarla sık karşılaşırız. Bu çarpımlar için kısa bir gösterim kullanılır.

Faktöriyel: $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere 1’den $n$ ‘ye kadar olan tam sayıların çarpımına $n$ faktöriyel denir ve $n!$ biçiminde gösterilir: $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots 2 \cdot 1$ Ayrıca $0! = 1$ olarak tanımlanır.

$n$	1	2	3	4	5	6
$n!$	1	2	6	24	120	720

Tablodan $n! = n \cdot (n - 1)!$ eşitliği kolayca görülür. Örneğin $6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720$ olur. Bu eşitlik, büyük faktöriyelleri sadeleştirirken çok işe yarar:

$\frac{8 !}{6 !} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 !}{6 !} = 8 \cdot 7 = 56$

4. Sıralama (permütasyon)

Girişteki yarışma sorusuna dönelim. 5 öğrenciden 3’üne farklı ödüller verilecek:

Birincilik ödülü için 5 seçenek vardır.
Birinci belirlendikten sonra ikincilik için 4 öğrenci kalır.
İlk ikisi belirlendikten sonra üçüncülük için 3 öğrenci kalır.

Çarpma yoluyla sayma ilkesine göre $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ farklı sonuç listesi vardır. Uygulamada $n = 5$ ve $r = 3$ seçerek bu sonucu adım adım görebilirsiniz.

Sıralama: $n$ farklı nesneden $r$ tanesinin sıra gözetilerek dizilişlerinin her birine $n$ ‘nin $r$ ‘li sıralaması (permütasyonu) denir. Bu dizilişlerin sayısı: $P (n, r) = n \cdot (n - 1) \dots (n - r + 1) = \frac{n !}{( n - r )!}$

Çarpımda tam $r$ tane çarpan bulunur: her kutu için bir çarpan. $r = n$ olduğunda bütün nesneler sıralanır ve $P (n, n) = n!$ olur. Örneğin 4 kitap bir rafa $4! = 24$ farklı biçimde dizilir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Tekrar var mı, yok mu?

Soru: Üç haneli bir şifreli kilidin her hanesine 0’dan 9’a kadar bir rakam yazılabiliyor. (a) Kaç farklı şifre oluşturulabilir? (b) Rakamları birbirinden farklı kaç şifre oluşturulabilir?

Çözüm: (a) Her hane için 10 seçenek vardır ve rakamlar tekrar edebilir:

$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 0^{3} = 1000$

(b) Rakamlar farklı olacağı için her hanede seçenek sayısı bir azalır:

$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Neden? İki soru da çarpma yoluyla sayılır. Fark, kullanılan bir rakamın sonraki hanede yeniden kullanılıp kullanılamamasıdır.

Örnek 2: Görev dağılımı

Soru: 8 kişilik bir kulüpten bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir sayman seçilecek. Bir kişi yalnızca bir göreve seçilebilir. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm: Görevler birbirinden farklı olduğu için sıra önemlidir. 8 kişiden 3’ünün sıralaması aranır:

$P (8, 3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Neden? Ali’nin başkan, Bora’nın sayman olması ile Bora’nın başkan, Ali’nin sayman olması farklı sonuçlardır.

Örnek 3: Belirli bir harfle başlayan dizilişler

Soru: KİTAP kelimesinin harfleri yer değiştirilerek oluşturulan beş harfli dizilişlerden kaç tanesi K harfiyle başlar?

Çözüm: İlk yer K harfine ayrıldığı için o yerin tek seçeneği vardır. Kalan 4 farklı harf, kalan 4 yere sıralanır:

$1 \cdot 4! = 24$

Neden? Koşul konan yer önce doldurulur, sonra kalan yerler için seçenekler sayılır. Koşulsuz diziliş sayısı ise $5! = 120$ ‘dir.

Sık yapılan hatalar

Toplama ile çarpmayı karıştırmak: “Otobüs ya da tren” sorusunda seçenekleri çarpmak. Seçimlerden yalnızca biri yapılıyorsa toplanır; art arda birden çok seçim yapılıyorsa çarpılır.
Tekrar koşulunu okumamak: Rakamların farklı olması istenmediği hâlde seçenekleri azaltmak ya da farklı olması istendiği hâlde 10 seçeneği her hanede kullanmak. Soru kökündeki “farklı” sözcüğü her zaman denetlenmelidir.
$0! = 0$ sanmak: $0!$ , tanım gereği 1’dir. Bu tanım sayesinde $P (n, n) = \frac{n !}{0 !} = n!$ eşitliği tutarlı kalır.
Sıranın önemsiz olduğu durumda sıralama kullanmak: 8 kişiden 3 kişilik eş görevli bir kurul seçilecekse Ali, Bora, Cem ile Cem, Ali, Bora aynı kuruldur. Bu tür sorular seçme (kombinasyon) konusunda ele alınır.

Kendini dene

Aşağıdaki soruları önce defterinizde çözün, sonra cevaplarla karşılaştırın:

İki kent arasında günde 5 otobüs ve 2 uçak seferi vardır. Bu kentler arasında kaç farklı seferle gidilebilir?
Bir kafede 4 çeşit çorba ve 3 çeşit tatlı vardır. Bir çorba ve bir tatlıdan oluşan kaç farklı seçim yapılabilir?
$\frac{7 !}{5 !}$ işleminin sonucu kaçtır?
7 koşucunun katıldığı bir yarışta ilk üç sıra kaç farklı biçimde oluşabilir?
DOSYA kelimesinin harfleri yer değiştirilerek oluşturulan dizilişlerden kaç tanesi D harfiyle başlar?

Cevaplar: 1) Ya otobüs ya uçak seçildiğinden $5 + 2 = 7$ . 2) Çorba ve tatlı seçildiğinden $4 \cdot 3 = 12$ . 3) $7 \cdot 6 = 42$ . 4) $P (7, 3) = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ . 5) İlk yer D harfine ayrıldığından $4! = 24$ .

Daha fazla alıştırma için metnin altındaki Kendini dene alanını kullanabilirsiniz. Her Yeni soru düğmesine bastığınızda farklı sayılarla yeni bir soru gelir.

Özet

Seçimlerden yalnızca biri yapılıyorsa seçenek sayıları toplanır; art arda seçimler yapılıyorsa çarpılır.
$n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ ve $0! = 1$ ‘dir.
$n$ farklı nesneden $r$ tanesinin sıralanış sayısı $P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$ eşitliğiyle bulunur.
Bir soruyu çözmeden önce sıranın önemli olup olmadığı ve tekrara izin verilip verilmediği belirlenir.

10. Sınıf Sayma: Çarpma Yoluyla Sayma, Faktöriyel ve Sıralama

Etkileşimli uygulama: Sayma ve Olasılık: Sıralama